测量误差基础：阿贝原则、20 ℃、测量力、不确定度与合格判定

阿贝原则：刻度与测量点在同一条直线上

阿贝原则的意思是：“把被测物与刻度（基准尺）沿测量方向排在同一条直线上，误差最小”^[1][2][3]。千分尺中，相当于刻度的测微螺杆与夹住工件的线在同一条直线上，符合这一原则。卡尺的主尺刻度与量爪夹持点相距较远，不符合这一原则。千分尺能达到更高精度，一大原因就在这里。

卡尺：倾斜直接变成误差（1 阶误差）

尺框有一点点间隙，受推力时量爪会略微倾斜。设刻度到测量点的距离为 h，量爪的倾斜为 a／ℓ，则误差为 f ＝ h × a／ℓ 。在三丰的示例中，倾斜为每 50 mm 0.01 mm，用外量爪深 40 mm 处的尖端测量时，误差为 0.008 mm^[1]。同样的倾斜，若用靠近根部的 h ＝ 10 mm 测量，则为 0.002 mm，只有 1/4（计算示例）。高度尺也一样，三丰说明，用 h ＝ 150 mm 测量时的误差是 h ＝ 100 mm 时的 1.5 倍^[1]。

千分尺：随倾斜的平方起作用（2 阶误差）

刻度与测量线在同一条直线上时，即使略有倾斜，误差也只有 L(1 − cos θ) ≒ L·θ²／2^[1][4]。倾斜 0.01 mm／50 mm（θ ＝ 0.0002 rad）、L ＝ 25 mm 时约为 0.5 nm，与卡尺的 8 µm 相差 4 个数量级（计算示例）。不过，内径千分尺在孔内倾斜时，会多读出 √(ℓ² ＋ X²) − ℓ，ℓ ＝ 200 mm、端部偏移 10 mm 时竟达约 0.25 mm（计算示例，公式来自三丰^[1]）。内径千分尺要在孔的轴向摆动取最小值、在直径方向摆动取最大值来读数，原因就在这里。

Bryan 的推广：用于三坐标测量机与机床在三坐标测量机和机床上，无法把想测的点（测针球的球心、刃口）与刻度（标尺）放在同一条直线上。Bryan（1979）把阿贝原则推广为：“测量系统要与想测的点放在同一条直线上。做不到时，要让导轨不发生角度方向的运动，或测量角度方向的运动并加以补偿”^[4][5]。测针横向伸得越长误差越大，这一现象可以用这一思路来解释（第 7 章）。

现场的应用要点用卡尺要夹在量爪根部。只有尖端才够得到的形状、沟槽深处、薄的凸缘，改用千分尺或专用测量器具。内径千分尺在孔的轴向摆动取最小、直径方向摆动取最大的位置读数，内径百分表在指针的折返点读数。

温度：尺寸是 20 ℃ 时的值

图纸上的尺寸和标准中的值，都是20 ℃ 时的值。ISO 1（JIS B 0680）把用于几何与尺寸规范的标准基准温度定为 20 ℃。2022 年版的修订只是明确了 20 ℃ 是国际温标（ITS-90）的值，20 ℃ 这个数值本身没有改变^[6]。热引起的误差被认为是机床和精密测量中最大的误差来源之一，也有观点介绍称机床误差的 40–70 % 来自热^[7]（机床一侧的热位移见维护保全篇的热位移页面）。

材料不同，伸长无法相互抵消

长度变化为 ΔL ＝ α × L × ΔT（α：线膨胀系数）。测量器具与工件的材料、温度不同时，表观误差为e ≒ L ×｛α工件 ×（T工件 − 20）− α测量器具 ×（T测量器具 − 20）｝。^[8][16]。用钢尺测量钢工件，温度相同的话会一起伸长而相互抵消。过去用钢制测量器具测钢制零件没出问题，原因就在于此，而铝工件则无法抵消^[7]。

上面 3 行按卡尺主尺 10.2×10⁻⁶/K^[1]和热膨胀计算器中的材料值计算而得，最后一行是 ISO 3650 中钢量块（11.5×10⁻⁶/K）的值^[26][9]。φ100 h7 的公差为 35 µm，所以直接测量 35 ℃ 的工件，仅温度就会吃掉一半公差。热膨胀计算器（把测得值换算到 20℃），输入材料和温度即可估算。

手的热量

一直徒手握着千分尺的尺架，尺架会伸长。三丰的实验图表显示，300 mm 规格 30 分钟约伸长 14 µm，50 mm 规格也约 4 µm。用 31 ℃ 的手握住 200 mm 的基准棒，10 分钟约伸长 18 µm（读自图表的实验值，并非保证值）^[1]。甚至出现了使手的热量不易传到尺架的隔热罩专利^[15]。

温度适应时间

使温度一致需要时间。NIST 给出量块放在均热板上的最短时间：0–10 mm 为 30 分钟，25–100 mm 为 100 分钟，125–500 mm 为 8 小时^[9]。对加工后的工件，有例子表明：把温差 15 ℃ 的板件直接放在恒温室的石质平台上，80–100 分钟读数稳定；用 3 点悬空放置，约 200 分钟才稳定^[11]。直接放在能散热的平台上，适应得更快。

修正后仍残留的误差

人们容易认为“不能在 20 ℃ 测量的话，计算修正就行”，但线膨胀系数本身也有不确定度。量块用钢至少有 5 %，其他材料可能达到 25 %^[7]，一般认为材料的值很难比 0.5×10⁻⁶/K 更准确^[4]。离 20 ℃ 越远，修正后残留的误差越大。NIST 的示例中，在 20.5 ℃ 测量 250 mm 量块时，系数不确定度的影响为 0.07 µm，但量块之间只要有 0.1 ℃ 的温差，就变成 0.3 µm^[9]。与其修正，不如在接近 20 ℃ 的环境中，使工件与测量器具温度一致后再测量更有效。

现场的应用要点夏天午后测量铝件，要把工件和测量器具放在同一平台上 1 小时以上再测。千分尺要握隔热板或装在支架上。刚加工完的尺寸，要测量温度并记下，用热膨胀计算器换算到 20 ℃ 后再判断。

测量力与挠曲

千分尺带有棘轮停止器、摩擦微分筒、棘轮微分筒这几种恒压装置，超过规定的力就会空转，使测量力一致。棘轮停止器靠声音和手感判断，但单手不便使用；摩擦微分筒没有声音和冲击，可单手使用；棘轮微分筒可单手使用，并能通过声音确认^[1]。在比较熟练者与初学者操作的工程教育研究中，认为比起刻度读数，“使测微螺杆接触时的测量力保持一定”更重要^[14]。

卡尺没有这种恒压装置。JIS 的使用注意事项也要求以适当且均匀的测量力测量。用力过大尺框会倾斜，第 1 章的阿贝误差随之增大。内量爪和长量爪远离基准面，影响尤其大^[1]。能在测量力达到规定值时以颜色或声音提示的卡尺结构获得了专利，原因也在于此^[13]。

工件被压陷（赫兹公式）

用平的测量面夹住球或圆柱时，接触部发生弹性变形，读数会比实际偏小。对钢而言，球为 δ₁ ＝ 0.82 ∛(P²／D) µm，圆柱为 δ₂ ＝ 0.094 (P／L) ∛(1／D) µm（P：测量力 N，D：直径 mm，L：圆柱长度 mm）^[1]。用 5 N 夹持 φ10 mm 钢球时读数约偏小 1.1 µm，10 N 时约偏小 1.8 µm（计算示例）。NIST 的量块手册中，也有比较测量时计算测头球压陷工件所致变形的例子^[9]。

大型千分尺的挠曲

测量范围大的千分尺，因支撑方式和朝向不同，尺架会因自重挠曲，基点移动数 µm 到十几 µm。三丰的表中，有最大测量长度 925 mm 的规格改变支撑方式后出现 −22.5 µm 的例子^[1]。基点要在与实际测量相同的姿势和支撑方式下校零。

现场的应用要点千分尺要转动棘轮 3–5 次后读数（次数保持一致）。卡尺要“轻轻接触，不要压入”。测量球或销时，要记住读数会偏小 1 µm 左右。

视差与读数极限

刻度线不在同一平面上时，从斜向看，刻线对齐的位置会显得偏移（视差）。卡尺游标面与主尺刻度面的台阶，JIS 规定在 0.3 mm 以下（三丰的说明）^[1]。

据说人眼能分辨两条线的偏移，在明视距离 250 mm 处约为 0.02 mm，条件好时为 0.01 mm^[2]。0.02 mm 的游标，读数已接近眼睛的极限。数显式虽然不会读错，但最小显示值（0.01 mm）与精度（示值误差、最大允许误差）是两回事。即使最小显示值为 0.01 mm 的卡尺，示值误差的允许范围也有 ±0.02–0.03 mm 左右，阿贝误差和测量力的影响依然存在（各器具页面的“标准与精度”）。

现场的应用要点刻度要从正面读。难读的地方改用数显式或指针式。不要把“显示到 0.01 mm”与“准确到 0.01 mm”混为一谈。

测量不确定度与合格判定

无论测得多仔细，测得的值都有一个范围。用数字表示这个范围的，就是测量不确定度。按 GUM（测量不确定度表示指南）的步骤，把各因素的标准不确定度，由重复测量的离散（A 类）和校准证书、规格、温度等信息（B 类）估算出来，按平方和的平方根合成，再乘以包含因子 k ＝ 2，得到扩展不确定度 U（约 95 %）^[17][18][16]。长度比较测量中，主要因素有标准器的校准值、重复性、标准器与工件的温差、膨胀系数之差、研合等^[16]。

现场示例

日本计量振兴协会的报告书中有汽车零部件工序的例子。用千分尺测量外径 φ19.02（+0.043／+0.022）的工序中，把量具 R&R 1.0 µm 与校准的不确定度合成，得到 U ≒ 2.4 µm。用卡尺测量全长 60（0／−1.5）的工序中，得到 U ≒ 0.12 mm 的结果^[19]。相对于 21 µm 的公差，2.4 µm 很小，但卡尺的 0.12 mm 无法判定公差在 0.1 mm 左右的尺寸。

紧贴公差边缘的值“无法断定是合格还是不合格”

JIS B 0641-1:2020（内容与 ISO 14253-1:2017 相同）基于这样的思路规定合格判定方法：测量值靠近公差界限时，由于不确定度，既不能说合格，也不能说不合格。证明合格的是供应方，需要证明测量值落在把公差向内收窄一个不确定度后的接收区内。证明不合格的是客户，需要证明测量值落在把公差向外扩大一个不确定度后的拒收区内。主张的一方要承担不确定度，这是规则^[20][21][23]。为避免争执，判定方法要事先由供应方与客户商定。

把向内收窄的宽度称为保护带 g 。旧版的默认值是 g ＝ U（k ＝ 2），2017 年版把默认值改为“合格概率 95 %”。这是为了不论公差与不确定度之比如何，都让风险保持一定^[21][22]。若为正态分布，单侧 95 % 约相当于 1.64u（u：标准不确定度）的宽度（计算所得的参考值，并非标准中的数表）。按以往的 g ＝ U ＝ 2u，恰好在接收极限上的工件实际不合格的概率最大为 2.3 %^[22]。

2 种风险

把不合格品判为合格的是误收（消费者风险），把合格品判为不合格的是误拒（生产者风险）。加宽保护带会减少误收，但会增加把良品扔掉的误拒。减小不确定度，两种风险都会降低，接收区也会变宽^[22][23]。在美国体系“精度比 4:1、风险 2 %”的确定方法中，有把接收极限取为公差 0.77 倍的例子^[19]。

初始值是上述报告书中的示例（φ19.02 +0.043／+0.022，U 2.4 µm）。测量值 19.061 mm 在公差之内，但超过接收上限 19.0606 mm，所以落在“不能断定合格”的一侧。

测量器具本身的合格与否，也要考虑不确定度

JIS B 0641-5:2021 是针对检验卡尺、千分尺、百分表等指示式测量器具是否满足最大允许误差（MPE）时，规定检验值不确定度处理方法的标准。B 0641-1 要求在判定测量器具时也要考虑不确定度，但没有具体的处理方法，现场理解不一，因此制定了它^[24]。收到校准证书时，不要只看合格与否，还要查看不确定度一栏。

现场的应用要点公差边缘附近的值，要重测，或用不确定度更小的测量器具测量。相对公差用卡尺还是千分尺，由工序的不确定度（含量具 R&R）决定。判定方法要事先与客户商定。

量块的等级与校准的溯源性

量块（JIS 中的名称为 block gauge）的等级为 K、0、1、2 级（JIS B 7506:2004，以 ISO 3650:1998 为基础）。各等级规定了“任意点的尺寸允许偏差（te）”和“尺寸允许偏差宽度（tv：面内的离散）”^[25][26]。

数值取自 JIS B 7506:2004 的表 1 中示例的一行（三丰的说明）^[25]。K 级的允许偏差比 0 级大，是因为这一等级重视的不是接近公称尺寸，而是形状好、尺寸被准确掌握（按校准值使用）^[26]。经销商的资料中也有“K 级＝标准用、研究用，0 级＝检验用量规和测量器具的检查，1 级＝检验用，2 级＝工作用”这样的参考表^[40]，但在标准正文中无法确认。

量块之间研合（wringing）的膜，正确贴合时只有数 nm。不过它首先会因手的热量而变化，之后也会随时间略有变化^[9][10]。公设试验所的评价中，研合的不确定度用光波干涉法估为 8 nm，卡尺、千分尺的校准中估为 0.02–0.03 µm^[31]。

溯源性的阶梯

长度单位米由光速定义，国家标准是碘稳频 He-Ne 激光（波长 633 nm）。最高等级的量块用光波干涉仪与激光波长直接比对测量（光波干涉测量），其他量块用比较仪与标准量块比较来校准（比较测量）。再用校准过的量块校准千分尺、卡尺、三坐标测量机，并用它们测量产品^[27][2][30]。每一级都有不确定度，越往下越大。

各级示例（k ＝ 2）：量块的光波干涉测量，三丰的最高测量能力为 100 mm 以下 30 nm，比较测量为 60 nm^[28]。JEMIC 的 JCSS 校准在 100 mm 以下为 0.15 µm^[29]。公设试验所（群马县）的 JCSS 登记值为：千分尺校准 3.1 µm，卡尺校准 0.02 mm（最小显示值 0.01 mm）^[31]。即使在温度变化的现场做上门校准，千分尺受热的影响也仅约 0.83 µm（标准不确定度）^[12]。

现场的应用要点千分尺的检查用 0 级或 1 级，车间的作业准备用 2 级。K 级使用校准证书的值。在测量器具的校准证书中，要确认溯源性（与哪里相连）和不确定度一栏。

三坐标测量机的误差

正交 3 轴的三坐标测量机，每个轴有 6 项（定位、直线度 2 项、俯仰、偏摆、滚转），再加上轴间垂直度 3 项，合计 21 项几何误差（一般认为）^[39][38]。厂商会测量这些误差并用软件补偿。使用方容易管理的是温度^[11]，此外测针、取点方式、工件的固定也是主要因素^[37]。

• 测量机本身也会伸缩：把玻璃标尺离开主体安装的机型，误差几乎与室温成正比变化，而把金属标尺直接贴在导轨面上的机型几乎不变。把室温从 20 ℃ 改到 25 ℃ 后，测量机表面温度需要 5 小时以上才稳定^[32]
• 刚开机时与照明：即使在 20±1 ℃ 的房间里，刚开机或开灯之后，坐标也会以 µm 为单位漂移。早上机器和照明同时打开，有的机型坐标要到傍晚才稳定在 1 µm 以内（关掉照明后约 1 小时稳定）^[33]
• MPE 与该次测量的不确定度是两回事：样本中的 E0,MPE 等是规定检验中的值。对某个工件的某个尺寸测量时的不确定度，要用与工件非常相似的已校准工件，按同样步骤重复测量，由与校准值的差异和离散得出（ISO 15530-3）^[36][37]
• 期间核查：在定期检验之间，用手边的标准器持续以同样的测法观察变化（JIS B 7440-2 的附属书 A）。有研究用低热膨胀陶瓷和碳素工具钢的球形尺寸量规做过尝试^[35][34]

测针的选择、校准、取点方式见三坐标测量机页面一文中。

现场的应用要点追求 1 µm 的测量，要提前一天打开机器和照明。工件直接放在平台上使温度适应。重要尺寸要先用已校准的工件确认不确定度。

现场检查清单

为了便于打印后贴在测量室，汇总成 10 项。

1. 卡尺夹在量爪根部：用尖端测量会因 h 而增大误差
2. 千分尺用棘轮接触：转 3–5 次，次数保持一致
3. 尺寸是 20 ℃ 时的值：确认工件与测量器具的温差。材料不同时用计算来估算
4. 留出适应温度的时间：温差 15 ℃ 的工件需 1–3 小时。直接放在平台上
5. 不要徒手长时间握持：隔热板、手套、支架。量块用镊子
6. 刻度要从正面读：0.02 mm 的游标已接近眼睛的极限
7. 公差与测量器具要匹配：公差宽度窄于 0.1 mm 左右时，不要用卡尺判定
8. 边缘附近要重测：用其他测量器具再测一次。判定方法要与客户事先商定
9. 校准证书要看到不确定度：不只看合格与否，还要看溯源到哪里
10. 三坐标测量机提前一天开机：提前打开机器和照明，早上第一件事先用标准器确认

常见问题

数显卡尺显示到 0.01 mm，就能准确到 0.01 mm 吗？

不能。最小显示值与精度是两回事。示值误差的允许范围因机型而异，约为 ±0.02–0.03 mm，此外还叠加阿贝误差、测量力、温度的影响。请参阅各器具页面的“标准与精度”。

没有 20 ℃ 的房间，就无法正确测量吗？

用钢（或不锈钢）测量器具测量钢工件，只要两者温度一致，即使稍微偏离 20 ℃，误差也很小。需要注意的是铝等膨胀大的材料，以及刚加工完只有工件偏热的情况。热膨胀计算器可以估算。

不确定度该怎么估算？

把同一工件测量几次得到的离散（A 类）与测量器具校准的不确定度、温度等信息（B 类）合成。参考 NITE 的入门指南，或使用量具 R&R 的结果，是比较快的入口^[17][19]。

我想了解测量器具本身的读数方法。

游标卡尺、千分尺、量块、三坐标测量机页面中汇总了读数练习、使用方法和常见错误。尺寸出现离散时，请看《加工问题排查手册》的“尺寸波动、尺寸不符”。