齿轮2026年10月12日

齿轮学习：从原理、术语、加工方法到向刀具厂商订购（入门至高级）

从入门到高级，读这一篇就能画出齿轮的“地图”！

齿轮的齿形、尺寸的确定、加工方法和测量方法是环环相扣的。这一篇文章从完全的初学者讲到向刀具厂商订购齿轮加工刀具的设计人员、生产技术人员和采购人员都需要了解的内容，一篇讲完。图中的齿形是通过计算刀具运动绘制的真实形状。最后以汽车转向系统的小齿轮和蜗杆轴为例，具体整理了询价时要告知刀具厂商什么、该提供什么样的图纸。

本文阅读指南

课程	适合谁	阅读章节
入门	想了解齿轮的名称和形状，或第一次看到图纸上的齿轮参数表	历史、齿轮的作用、渐开线、类型、术语
中级	设计、加工或检验齿轮的人	变位与根切、斜齿圆柱齿轮、测量方法与精度、加工方法
高级	负责磨齿精加工的齿轮或刀具的采购安排	带凸角（protuberance）、齿面修形、倒角、刀具订购、小齿轮示例、蜗杆示例

计算工具汇总在齿轮页面：直齿圆柱齿轮、斜齿圆柱齿轮、公法线长度、跨棒距、模数表、加工方法、齿轮加工刀具。

入门齿轮的历史：从木齿到磨削齿

公元前 4 世纪一般认为，齿轮最早见于文献的例子是亚里士多德的《机械问题》。是谁在什么时候发明的，已无从考证^[68]
约公元前 2 至 1 世纪安提基特拉机械：从沉船中发现的青铜齿轮装置。据信它用齿轮来计算太阳和月亮的位置以及日食、月食的周期（不同资料对年代的推定略有差异）^[69][70]
16 世纪齿轮仍靠手工制作，用与齿槽形状相同的铣刀逐个切削。也留存有手摇式切齿机的实例^[71]
1551 至 1612 年机械钟表传入日本。为适应一个时辰的长度随季节变化的不定时法，和式时钟应运而生^[78]
1754 至 1767 年欧拉用数学方法讨论齿轮的齿形（据说最早提出了渐开线齿形）^[72][73]
1796 年《机巧图汇》（Karakuri Zui）刊行。这本书附有图纸，汇集了和式时钟和送茶人偶的制作方法。后来对送茶人偶的调查报告称，木齿轮的齿形与今天的渐开线几乎相同^[79][80]
1825 年艾里发表了齿形的一般理论。他证明了采用渐开线时，即使中心距发生变化，啮合也能保持。^[73][74]
1835 年英国惠特沃斯的专利中，画出了用滚刀切削齿轮的原理^[71][75]
1838 年、1841 年威利斯发表了绘制齿形的器具和设计方法，并在著作中推荐渐开线齿形^[74]
1851 年田中久重的万年钟（万年自鸣钟）。日本重要文化财^[81]
1889 年美国的格兰特获得了直齿圆柱齿轮用滚齿机的专利（已知最早的滚齿机专利）^[71][75]
1896 至 1897 年美国的费洛斯将插齿机投入实用。它是当时唯一能以实用速度切削内齿轮的机床^[76][75]
1897 年德国的普法特为能切削直齿和斜齿圆柱齿轮的滚齿机申请并获得专利^[71][77]
1913 年瑞士的 Maag 创立。以用齿条形刀具切齿的切齿机和使用碟形砂轮的磨齿机而闻名^[59][58]
1945 年瑞士的 Reishauer 推出了连续展成磨齿机，用蜗杆砂轮连续磨削^[62]
1990 年Maag 的最后一台齿轮加工机交付，生产结束^[58][60]
1998 至 1999 年齿轮的 JIS 标准参照 ISO 重新制定（精度 JIS B 1702-1、标准基准齿条 JIS B 1701-1 等。“基准节圆直径”改称“分度圆直径”）^[82][83]
2000 年代起汽车变速器齿轮的主流做法，是渗碳淬火后用连续展成磨齿精加工^[21][24]

入门齿轮的作用是改变转速、力和转向

齿轮是靠相互啮合的轮齿传递旋转的零件。两个齿轮的齿数比决定了一切。

改变的对象	决定方式	示例：齿数 12 → 36
转速	输出转速 = 输入转速 × z₁ / z₂	1,200 min⁻¹ → 400 min⁻¹（减速为 1/3）
转动力（转矩）	输出转矩 = 输入转矩 × z₂ / z₁ × 效率	10 N·m → 约 30 N·m（3 倍）
旋转方向	外齿轮之间转向相反，与内齿轮则转向相同	顺时针 → 逆时针
轴的方向	锥齿轮、蜗杆传动可使其转向 90°	—

转速与力此消彼长减速时力变大，增速时力变小。齿轮不是增加能量的装置，而是改变“转速”与“力”分配比例的装置（实际上会因齿面摩擦等而略有损失）。

入门为什么齿形是“渐开线”？

把缠绕在基圆上的线保持绷紧状态展开，线端就会描出渐开线。绝大多数齿轮的齿廓都是这条曲线。

如果齿形随意，啮合过程中转速会时快时慢，产生振动和噪声。要想始终以恒定的速度传递旋转，对齿形有一定的条件，满足这些条件的代表性曲线就是渐开线^[10][11]。

啮合线是一条直线，就像一条交叉套在两个基圆上的皮带。齿与齿的接触点始终在这条线上，推力的方向也不变。即使中心距略有偏差，变化的也只是啮合线的倾斜度（啮合角），转速仍然保持恒定。

力的方向不变：啮合点只在称为“啮合线”的一条直线上移动，推动轮齿的力的方向也始终沿着这条线。轴承的受力保持稳定
对中心距偏差不敏感：即使两个齿轮的中心距因装配误差或热变形而略有偏差，传动比仍等于齿数比（变化的是侧隙和啮合角）^[11]
可以用直线刃刀具加工：渐开线齿轮的齿数增加到无穷大时，齿面就变成直线的“齿条”。因此只需一把直线刃刀具（滚刀、齿条刀），就能准确加工出任意齿数的齿轮。刀具容易制造、齿轮容易测量，是渐开线在全世界通用的最主要原因

钟表等产品中也会使用齿根可以做得更厚的摆线齿形。但中心距一旦偏离就无法正确啮合，所以传递动力的机械几乎都采用渐开线^[11]。

入门齿轮种类一览图

两根轴是“平行”“相交”还是“交错”（既不相交也不平行），决定了该用哪种齿轮。

轴	类型	常用场合	主要加工方法
平行	直齿圆柱齿轮	减速机、机床、泵	滚齿、插齿
	斜齿圆柱齿轮	汽车变速器、转向小齿轮（安静、强度高）	滚齿 → 磨齿、剃齿
	内齿轮	行星齿轮机构（自动变速器、机器人减速机）	插齿、刮齿、拉削
	齿条	转向、直线进给	拉削、铣削、齿条刨削
相交	直齿锥齿轮	差速器、手动工具	插齿、锻造
相交	弧齿锥齿轮	汽车后轮差速器、机床主轴	专用切齿机、磨削、研齿
交错	蜗杆传动	单级实现大减速比（电动助力转向减速机、升降机）	蜗杆：车螺纹、磨削、旋风铣；　蜗轮：滚齿，树脂蜗轮也可注塑成型
	交错轴斜齿轮	轻载的直角传动	滚齿
	准双曲面齿轮	汽车后轮差速器（轴线偏置，可降低车身地板）	专用切齿机、研齿、磨削

入门首先要记住的术语

齿轮的大小由“模数 m”和“齿数 z”决定。分度圆直径为 m × z，齿高为 2.25m（齿顶高 1m + 齿根高 1.25m）。齿距和齿厚在分度圆上测量。

术语	一句话	公式、参考值
模数 m	齿的大小。模数越大，齿越大越强。从 JIS 标准值中选取（表）	m = 分度圆直径 ÷ 齿数
齿数 z	齿的个数。啮合的两个齿轮的齿数比就是传动比	—
压力角 α	推动轮齿的力的倾斜角。目前以 20° 为标准。角度越大，齿根越粗越强，但轴承受力也越大	20°（也有 14.5°、25°）
分度圆（节圆）d	作为齿轮大小基准的圆。啮合的两个分度圆相互纯滚动	d = m·z
基圆 db	渐开线的“绕线圆”。齿面只存在于这个圆的外侧	db = d·cos α
齿顶圆 da、齿根圆 df	齿的最外缘和齿槽的最底部	da = d + 2m，df = d − 2.5m（标准）
螺距 p	沿分度圆到相邻齿的距离。啮合的齿轮齿距相同	p = πm
齿厚 s	分度圆上的齿厚。把这里切薄就形成了侧隙	s = πm/2（标准）
顶隙 c	对方齿顶与齿根之间的间隙。用于让油排出、避免干涉	c = 0.25m（标准）
侧隙	啮合齿面之间的间隙。为零时会因热膨胀或误差而卡死，过大则会产生敲击声	通过减小齿厚来实现
中心距 a	两个齿轮轴线之间的距离	a = m(z₁ + z₂)/2（无变位）
重合度	同时啮合的齿对数的平均值。必须大于 1，越大越安静	直齿圆柱齿轮约为 1.4～1.8

变位、重合度、TIF、磨削台阶等 45 个齿轮术语（附英文和中文）已收录在术语表的“齿轮”分类中。

在国外的图纸上，有时会用径节 DP（分度圆直径每英寸的齿数）代替模数。m = 25.4 ÷ DP（换算表）。

中级变位与根切：少齿数齿轮的对策

即使刀具相同、齿数同为 9，让刀具向外退让后切削（正变位），齿形也会改变。红色虚线是基圆，蓝色点划线是分度圆。图形是根据齿条刀具的运动计算绘制的。

用齿条型刀具切削齿数少的齿轮时，刀具的齿顶会多切掉齿根部分，使齿根被切掉一块。这就是根切，它会使齿根变细、容易折断，也会缩小可啮合的范围。对于压力角 20° 的标准齿，齿数大约 少于 17时就会发生（理论值，实际使用中通常允许到 14 左右）^[10]。

于是，让刀具稍微远离齿轮中心进行切削。这就是变位，刀具移开的距离除以模数得到的值就是变位系数 x 。正变位会使齿根变粗、减少根切，但过度会使齿顶变尖。

不发生根切的最小齿数 z_min = 2(1 − x) / sin²α

齿数 z 9变位系数 x 0.00压力角

不发生根切的最小齿数—

齿顶厚（m 的倍数）—

这个图是在浏览器中让齿条刀具一小步一小步移动，计算出齿形的。适用于刀尖圆角 0.38m、齿根高 1.25m 的标准刀具。如果实际刀具的形状（刀尖圆角、齿高）不同，根切的情形也会不同。

变位还可以用于使中心距符合规定值、使两个齿轮的齿强度相等、减小滑动。啮合的两个齿轮的变位系数之和决定中心距（直齿圆柱齿轮计算）。

中级斜齿圆柱齿轮：不要混淆“法向”和“端面”

齿线倾斜的斜齿圆柱齿轮，轮齿是逐渐进入啮合的，因此安静且强度高，是汽车变速器和转向小齿轮的主力。代价是会产生轴向力（轴向推力）。

所取截面	模数	压力角	使用场合
法向（垂直于齿线）	m_n	α_n	刀具按此截面确定（滚刀相当于斜着与齿轮啮合的齿条）
端面（垂直于轴线）	m_t = m_n / cos β	tan α_t = tan α_n / cos β	用于求分度圆直径 d = m_t·z

螺旋角 β：分度圆上齿线的倾斜角。旋向（右旋、左旋）：将轴竖直放置观察，齿线向右上倾斜即为右旋
平行轴上相互啮合的外齿轮，螺旋角相同而旋向相反
斜齿圆柱齿轮的端面压力角会变大，因此即使齿数少，也比直齿圆柱齿轮更不容易发生根切

询价和订购中最常见的混淆即使写着“模数 2”，是法向还是端面，刀具也会完全不同。斜齿圆柱齿轮的参数请务必注明是法向还是端面（斜齿圆柱齿轮计算可以同时算出两者）。

中级齿厚与精度的测量方法

齿厚用游标卡尺无法准确测量。现场通过以下两种“间接尺寸”来控制齿厚。

方法	测量对象	量具
公法线长度 W	跨过若干个齿，测量两侧齿面之间的距离	齿厚千分尺（盘形测量面）
跨棒（跨球）距 M	放入相对齿槽中的量棒（量球）的外侧距离	量棒、量球 + 千分尺

精度用单个齿的形状（齿廓偏差）、齿线的方向（螺旋线偏差）、齿的排列间隔（齿距偏差、齿距累积偏差）、齿槽的偏心（齿圈径向跳动）来表示，各自的允许值决定了精度等级（详见精度等级、误差项目）。齿轮测量仪以曲线图的形式记录齿廓和齿线。订购刀具时，也要在一开始就确定如何根据这些曲线图判定合格与否，这样验收时就不会产生纠纷。

中级齿轮的加工方法：切削 → 热处理 → 精加工

这是汽车变速器齿轮、转向小齿轮这类既要强度又要安静的齿轮的典型流程。不磨齿的齿轮（剃齿精加工、滚齿精加工），精加工工序在热处理之前。

加工方法	原理	刀具
滚齿	螺杆状刀具与齿轮按啮合速比同步旋转并进给。外齿轮批量生产的主力。	滚刀
插齿	齿轮形刀具一边上下往复运动，一边与工件对滚。也适用于带台阶的齿轮和内齿轮。	插齿刀
刮齿	刀具轴线倾斜，与工件高速同步旋转。加工内齿轮很快。	刮齿刀
拉削	长刀具一次拉过，所有的齿一次成形。用于内齿轮、花键、齿条。	拉削
滚轧	用滚轧模挤压，使材料隆起成齿（不切削）。	滚轧模、齿条
剃齿	淬火前薄薄刮削齿面，修正齿形。	剃齿刀
磨齿	淬火后用砂轮精加工齿面。有蜗杆砂轮连续展成磨齿，也有成形砂轮逐齿成形磨齿。	砂轮、修整器
珩齿	用内齿轮形珩磨轮修整淬火后的齿面，降低噪声。	珩磨轮

需要强度的齿轮，先趁材料还软时切齿（软加工），再通过渗碳淬火等使表面变硬，然后用磨削或珩齿去除热处理产生的变形（硬加工）。要点是切齿时预先留出磨削时要去除的量（磨削余量），下面要讲的“带凸角”就由此而来。

高级什么是凸角（Protuberance）

一句话带凸角（Protuberance）是指在预加工用的滚刀或插齿刀的齿顶棱角处加一个小小的“凸角”，并在齿轮的齿根处有意切出一道浅让刀槽的刀具形状。之后进行磨削、剃齿、珩齿时，精加工刀具的前端不会碰到齿根，精加工面的末端不会留下台阶^[7][15][19]。

在法向截面上看到的一个滚刀齿。齿顶两侧伸出小小的凸角。这些凸角会在齿轮的齿根处切出比磨削余量更深的让刀槽。

为什么台阶是个问题

磨削砂轮只磨削配对齿轮实际接触的齿面（有效齿面），不会磨到齿底。对没有凸角的预加工齿轮进行磨削时，砂轮脱离齿面的位置会留下与磨削余量几乎同样深的磨削台阶（磨齿凹痕）。齿根是弯曲应力最高的地方，所以台阶会造成应力集中，使齿的弯曲强度评价下降。台阶位于齿根圆角越低的位置，影响越大，增加磨削余量，台阶也会变深^[16][20]。

放大显示齿数为 30 的齿轮的一个齿槽（磨削余量和凸角的大小为便于看清而夸大）。磨削砂轮只磨齿面，不会进入齿底。左侧在磨削结束处齿面多出一级，留下使齿根应力集中的“磨削台阶”。右侧因为凸角预先切出了比磨削余量更深的让刀槽，砂轮在空中退出，不产生台阶。两者的形状都是通过计算刀具运动绘制的。

剃齿也是同样，如果剃齿刀的齿顶碰到预加工留下的圆角，剃齿刀会很快磨损，齿形也会被破坏。有了凸角形成的让刀槽，剃好的齿面与不剃的齿根就能平滑过渡^[7][18][19]。

如何确定凸角的大小

凸角量 pr ＝精加工余量 q ＋精加工后残留的让刀量 u

精加工余量 q（单侧，垂直于齿面），凸角必须比它大。差值 u 就是精加工后仍留在齿根的让刀量^[15][17][19]
某家刀具制造商的实际齿形为压力角 20°、凸角的角度 10°、刀具齿顶高 1.4m、齿顶圆角 0.4m，此时q ≈ 0.09 ＋ 0.0125m、pr ≈ 0.129 ＋ 0.029m［mm］（模数 7 以下）。模数为 3 时，q ≈ 0.13 mm，pr ≈ 0.22 mm，残留的让刀量 u ≈ 0.09 mm^[15]
另一家刀具制造商给出的剃齿余量参考值（以齿厚计）是：m2.25 及以下为 0.05–0.08 mm，m2.25–3.5 为 0.06–0.10 mm，等等^[7]
让刀槽的上端（齿根形状圆 dFf）要低于配对齿轮齿顶所接触的最低圆（dNf＝SAP、有效齿廓起始圆（TIF））。凸角过大时，dFf 会升高而侵入啮合范围，齿根也会变细^[15][19]
要为热处理变形，以及磨齿机上的找正（使左右齿面的磨削量一致）误差留出余量^[15]
齿数很少的齿轮，展成时自然产生的根切就够用了，有时也使用没有凸角的刀具^[17][19]

刀具齿形代号	含义
P、PP、PS、PSP	剃齿前（预剃）用。P＝齿薄、齿顶高大，第 2 个字母起的 S＝半顶切（齿顶倒角），最后的 P＝带凸角
PG、PGP、PGS、PGSP	磨齿前（预磨）用。PGP＝带凸角，PGSP＝带凸角和半顶切
S-TOP	精加工用的半顶切齿形

代号来自刀具制造商的技术资料（依据 JIS B 4350）^[7]。带凸角的基准齿形在标准中没有统一规定，而是按用途分别设计^[15]。

带凸角的话，该用哪家的磨齿机？

答案：带凸角并不意味着必须使用特定厂家的磨齿机。在我们查阅的范围内，没有找到磨齿机厂家指定预加工刀具的资料。刀具制造商表示，凸角量由刀具一侧根据精加工方式、磨削余量、热处理变形和配对齿轮来决定，磨齿机一侧则通过砂轮齿顶的高度和圆角（修整），以及磨削余量的分配（相位对齐）来配合^{[7][15][16][20]}。反过来说，磨齿机和砂轮确定后，把这些信息（砂轮能磨到多深）告知刀具制造商，这才是正确的顺序。

汽车变速器齿轮的批量生产中，让蜗杆砂轮与齿轮啮合旋转的连续展成磨齿是主流，磨齿时可省去剃齿^[24][28][21]。量产机床用传感器测量因淬火而偏移的齿槽位置，调整到能均匀磨削左右齿面的位置后再磨削^[23][24][29]。

厂家（国家）	连续展成磨齿（蜗杆砂轮）示例	其他
Reishauer（瑞士）	RZ 160 4.0（φ160、m0.5–4，用于汽车变速器）、RZ 260 4.0、小径砂轮的 RZ 160 KWS^[25][26]	称自家的连续展成磨齿是汽车齿轮行业的标准^[24]
KAPP NILES（德国）	KX 100 DYNAMIC（φ125、m0.5–4.5，面向汽车），KX 260 DYNAMIC^[28]	成形磨齿的 KNG、ZE、ZP（大直径、大模数）^[27]
Liebherr（德国）	LGG 180、LGG 280（展成和成形两种都可以）^[29]	还有无需修整的 CBN 电镀砂轮
Gleason（美国）	Genesis 200GX、260GX^[30]	还有成形磨齿机、珩齿机
尼得科机床（日本）	ZE16C、ZE26C（量产用）、ZE40A，以及后继机型 ZFA160、ZFA260^[31][32]	还有内齿轮磨齿机 ZI20A
EMAG SU（意大利）	G 160、G 250、G 400^[33]	成形磨齿：G 375 H 等
秦川机床（中国）	YKZ7230、YKZ7236、YKS7225A^[34]	—

机型名称和范围已对照各公司官网和技术资料核实（2026 年 10 月）。成形磨齿（用碟形砂轮逐槽磨削）速度较慢，因此适合大直径、小批量、大模数的齿轮^[24][27]。像转向小齿轮那样直径小、轴台阶很近的齿轮，砂轮容易碰到，淬火后难以磨削，也有淬火后用硬质合金滚刀精加工的例子^[21]。也出现了使用小径砂轮的磨齿机^[26]。

给听说过“带凸角要用 Maag 的机床”的人

瑞士的 Maag 是 1913 年在苏黎世创立的齿轮公司，以用齿条形刀具切齿的切齿机，以及让齿轮在两个碟形砂轮之间滚动来磨削的磨齿机（即所谓的 Maag 法，有 0° 法和 15°/20° 法）而闻名^[59][58][61]。Maag 切齿机用的刀具，除了粗加工和精加工用之外，还有磨齿前用（预磨）的，用齿条形刀具还可以加上凸角（Protuberance）等齿形修形^[58]。因此，用带凸角的刀具预加工，再用 Maag 磨齿机磨削这种组合，曾经是大型齿轮和高精度齿轮的经典组合之一。关于齿根强度的早期研究所用的试验齿轮，也是用 Maag 干式磨削制成的^[16]。

但是，Maag 的齿轮加工机床在 1989–1990 年停产（最后一台切齿机的交付是在 1990 年），已经没有新机床^[58][60]。如今仍在运转的 Maag 磨齿机，是由专业公司更换控制系统后继续使用的^[61]。Maag 干式磨削现在被认为是一种过时的方式^[16]。也就是说，带凸角并不等于必须用 Maag 的机床。现在的批量生产中，通常是用带凸角的滚刀预加工，再用上表所列厂家的连续展成磨齿机精加工。用手头现有的 Maag 磨齿机精加工时，确定方法也相同：把砂轮能磨到多深（磨削能到达的深度）告诉刀具制造商，请他们确定凸角的量。

Maag 法与 Reishauer 法的比较

齿轮磨削的历史，通过瑞士两家公司的方式来梳理就很容易理解。两家都是苏黎世的公司，Maag 用碟形砂轮，Reishauer 用蜗杆砂轮磨削齿轮。

	Maag 法	Reishauer 法
公司	1913 年在苏黎世创立的齿轮公司^[59][58]	起源于 1788 年苏黎世的工具锻造铺。1928 年自行制造了螺纹磨床^[62]
砂轮	2 个碟形砂轮	1 个蜗杆砂轮（与滚刀形状相同）
原理	0° 法：让齿轮在两个砂轮上滚动接触，一边展成渐开线，一边同时磨削两个齿面。15°/20° 法：两个砂轮相当于基准齿条的左右齿面，每次往复进给后分度到下一个齿^[61]	让蜗杆砂轮与齿轮按啮合速度同步旋转，对所有的齿连续磨削（从 1945 年的 ZA 开始。至今仍被称为“Reishauer 法”）^[62][24]
砂轮与换型调整	砂轮不受齿距（模数）限制，可以通用，刀具费用低^[61]	每种模数和压力角都要用金刚石滚轮修整蜗杆砂轮后才能使用^[24]
擅长的加工	高精度的小批量产品：剃齿刀、修整齿轮、标准齿轮、试制和试验用的齿轮等^[61]	汽车变速器等的批量生产。以拥有两个工件主轴的量产机为主力^[24][25]
发展历程	齿轮加工机床的制造在 1989–1990 年结束。现在是改造现有机床继续使用^[58][60][61]	1977 年将砂轮与齿轮的同步电子化，1986 年出现边窜动砂轮边磨削的窜动磨削，2009 年推出量产用的 RZ x60，2021 年推出小径砂轮的 RZ 160 KWS，2025 年还推出了内齿轮硬刮齿机^[62]

与凸角的关系，两种方式都一样即使磨齿机的方式不同，“让砂轮的切削刃在预加工的凸角让刀槽内退出”这一想法是一样的。要告知刀具制造商的是磨齿机的方式、砂轮能到达的直径（磨削能到达的深度）和磨削余量。^[15][16]。

如果把齿根全部磨削，是不是就不需要凸角了？也有把齿根圆角一并磨削的方法，但磨削会残留拉应力，所以需要喷丸和磨削烧伤检查，费用也高，只用于飞机等有限的齿轮。只要制造得当，不磨削的齿根弯曲疲劳强度也几乎相同^[22]。

高级齿面修形：故意让形状稍微偏离

受载荷后，齿会变形，轴也会变形。如果保持理论上的渐开线不变，啮合开始时齿顶会相互碰撞，或者只有齿的端部受到很大的力。因此要把成品的形状以微米为单位，故意修成偏离理论的形状。

修形	修形位置	目的
齿顶修缘（Tip relief）	把齿顶附近的齿形略微磨去	缓和啮合开始时的冲击，降低噪声和振动
鼓形修整	沿齿向使中部略微鼓起	防止因轴的挠曲或装配误差而只有齿端接触的“偏载（边缘接触）”
螺旋线倾斜修形	稍微改变螺旋线的角度	抵消承载时轴的倾斜

修形是在齿轮试验机的图表上，以“与目标形状的偏差”来确认的。磨齿精加工的齿轮大多在磨齿机一侧加入修形，滚齿精加工的齿轮则在滚刀的齿形中预先加入修形。无论哪种情况，在产品图上写明修形的量和范围（从哪个直径开始），并连同 TIF、SAP 一起告知刀具制造商和磨削负责人，这一点很重要。

高级齿轮倒角：工件侧与刀具侧

刚切完齿的齿轮，端面与齿面的棱角锐利，还会残留毛刺。锐利的棱角和毛刺在渗碳淬火后会变脆，受载时崩裂，损坏变速器。变硬的毛刺还会缩短珩齿等后续工序的刀具寿命。如果端面用作基准或夹持面，就不允许有毛刺，倒角也能防止手工操作时受伤^[63][64]。

工件侧：在哪里、倒成什么形状

倒角	位置	加工方法与注意事项
齿顶倒角	齿廓顶端（齿顶）的棱角	用带半顶切的滚刀在切齿的同时加工出来（齿形代号中的 S）。如果不把毛坯外径比理论外径加大倒角的量，可用的齿面就会减少。倒角的大小随齿数而变化^[17][15][7]
齿端倒角	端面与齿面之间的棱角（齿宽的两端）	切齿之后用另外的刀具加工。直齿轮两侧都倒，斜齿轮只倒锐角侧或两侧都倒^[7]

从端面（齿宽的端部）看到的齿轮。黄色是倒角的部分，去掉了端面与齿面之间的棱角（宽度为便于看清而夸大）。采用哪种形状，要在产品图上指定，刀具制造商的订货规格书中也是从图中选择。

端面倒角的形状有锥形、平行形（仅齿面）、平行形（含齿底）三种基本形式^[7][67]。挤压成形的倒角，角度大致为 20–30°^[63]
端面倾斜的齿轮也可以倒角，但超过 15° 就需要通过计算确认^[7][67]
产品图上要写明倒角的形状、量（宽度和角度）、部位，以及齿面侧出现的二次毛刺的允许范围

刀具侧：如何倒角

方法	原理	适用的齿轮
挤压（滚轧）倒角挤压倒角刀	用与工件啮合的齿轮形刀具挤压端面的棱边。端面一侧隆起的材料，由一起安装的去毛刺刀同时去除^[7][65][66]	适用于模数 5 左右以下的较小齿轮。速度很快，连循环时间 10 秒以下的行星小齿轮也能加工。也适合齿根下方没有退刀空间的带轴齿轮^[64][63]
切削倒角	专用倒角刀具在工件端面做类似滚刀的展成运动：倒角滚刀、飞刀、立铣刀^[65][63][64]	适用于模数超过 5 的齿轮。飞刀需要在齿根下方留有退刀空间^[63][64]
齿顶倒角	使用带半顶切的滚刀、插齿刀，在切齿的同时完成^[7][15]	磨齿、剃齿之前的预加工中需要齿顶倒角的齿轮（与凸角组合为 PGSP、PSP）

挤压倒角的“二次毛刺”被挤压的材料有一部分也会流向齿面一侧，形成鼓包（二次毛刺）。如果后续工序是剃齿或连续展成磨齿，一般问题不大，但如果是珩齿，就会影响刀具寿命。对策有两种：一是用半圈为滚光（压平）部的刀具把二次毛刺压回去；二是把滚齿分成两次，中间加入倒角，由第二次滚齿把毛刺切掉^[63][64]。倒角装置也可以集成到滚齿机、剃齿机和刮齿机上^[66][64]。

订购倒角刀具时，请告知齿轮参数（切齿后的齿厚、TIF）、倒角的形状和部位、有无台肩及端面的倾斜、配对齿轮、刀具的齿数、材质和安装形式（详见倒角刀具指南）。

高级向刀具厂家订货：要告知的内容与要提供的资料

刀具厂家只要知道齿轮参数、如何精加工、用哪台机床加工，就能设计刀具。反过来，只要有一项漏掉或弄错，收到的刀具就切不出正确的齿轮。刀具厂家的询价单、订单大致分为“工件（齿轮）”“刀具”“机床”三栏，如下表所示^[35][36][7]。

备齐产品图和齿轮参数表：参数表的写法由 JIS B 0003（齿轮制图）规定，需写明齿形、模数、压力角、齿数、变位系数、分度圆直径、齿厚（公法线长度或跨棒距）、精度、配对齿轮等^[39][37][38]
补充参数表中没有的内容：TIF（有效齿廓从哪个直径开始）、精加工余量、齿顶倒角、热处理的顺序、机床数据。这些最容易漏掉^[35][7]
提出询价：把下表中的项目整理成询价单，并提供整套资料
确认刀具图（认可图）：把刀具厂家计算出的刀具形状、尺寸，与齿轮参数、机床对照核对
制作、交货与试切：用齿轮检测仪测量第一件齿轮，按事先定好的合格标准验收

栏目	要告知的内容	遗漏时会发生什么
工件（齿轮）	模数、压力角（法向还是端面）、齿数、螺旋角及旋向、变位系数、齿顶圆和齿根圆直径、齿宽、材料与硬度、图号	无法确定刀具的基准齿形
	齿厚：跨测齿数和公法线长度，或量球（量棒）直径和跨球距。分“成品”和“切齿后”两行写出。	预加工刀具是按切齿后的尺寸制造的，只有成品尺寸是做不出来的^[35][7]
	有效齿顶圆直径、有效齿根圆直径（TIF）与配对齿轮的参数、中心距	无法确定齿廓的保证范围，凸角的让刀凹槽甚至可能进入啮合范围^[35][7]
	精加工余量（单侧）、有无凸角及凸角量、齿顶倒角	磨削台阶、倒角不足
	热处理的种类与顺序、精度等级、齿廓和螺旋线修形	热处理变形的预估量、刀具材质牌号和合格标准会出现偏差
刀具	刀具种类（滚刀、插齿刀、刮齿刀、剃齿刀、拉刀等）、粗加工还是精加工、头数和旋向、精度等级（AA、A 等）、材质牌号和涂层、数量	效率、精度、寿命与预期不符
刀具	外径、总长、孔径、键槽（未定的话，由厂家根据机床确定）	装不上机床，或碰到台阶
机床	机型、最大刀具直径和长度、最大窜刀量、回转角、湿切/干切	窜刀无法用尽刀刃，寿命缩短^[35][40][41]
机床	年产量、目标寿命、允许的进给痕（滚刀进给在齿面上留下的凹凸）	无法确定头数、材质牌号和进给^[35]

要提供的整套资料

产品图（附参数表）：刀具根据工件的图号和参数来设计^[7][35]
预加工尺寸与精加工余量：切齿后的齿厚、单侧加工余量
配对齿轮的参数与中心距（图纸上没有 TIF 的话，请据此计算）
工艺流程表：切齿 → 热处理 → 精加工的顺序和方法（磨齿、剃齿、珩齿、淬火后的滚刀精加工）
机床规格：机型、刀具最大直径和长度、窜刀量、回转角、心轴（刀具孔径）
检验方式：齿厚的测量方法（量球直径、跨测齿数）、精度等级、修形的目的和公差
数量与寿命目标：年产量、循环时间

有些齿轮设计软件可以输出汇总齿轮和刀具数据的“刀具询价”报告^[56]。图纸大多属于公司机密，提供之前请先确认公司内部的手续（如保密协议等）。

高级例 1：切制转向小齿轮的滚刀询价

柱式电动助力转向（示意图）。电机的转动经蜗杆和蜗轮减速后助力转向柱，小齿轮推动齿条左右移动，改变轮胎的方向。本文的“订货示例”，就是加工此图中小齿轮和蜗杆的刀具。

乘用车的转向系统以齿轮齿条式为主流^[2]。小齿轮是齿数少、螺旋角大的斜齿轮，与齿条（在圆棒上切出齿的零件）啮合。由于装车布局的需要，小齿轮与齿条的轴线不是垂直，而是有交错角，齿条被弹簧压向小齿轮，轻载时两侧齿面同时啮合^[1]。

小齿轮的制造方法（公开资料所能了解的范围）

切齿多用滚齿：滚刀是刀齿排列的断续切削，齿面上必然会留下与进给对应的细小凹凸（多边形误差），成为转向系统“滑动噪声”的原因。降低进给可以减小，但效率会下降，因此有研究通过重新调整滚刀轨迹等，把它从 7.5 µm 降到了 4.8 µm^[42]
热处理有两种做法：先切削非调质钢再高频淬火的例子^[44]，以及渗碳的例子^[45]都出现在专利中
精加工：直径小，轴上的台阶又近，砂轮容易碰到，热处理后用硬质合金滚刀精加工也有这样的例子^[21][42]。也有用小直径砂轮磨削的方法^[26]

这里以技术报告中登载的“模拟转向系统的参数”^[1]为例，来编写一份用于滚齿 → 热处理 → 磨齿工艺的预加工滚刀（带凸角）的询价单。磨削余量、材料、机床等，是本文为举例而设定的值。

一个小谜题：报告中的参数表里只写了“模数 2”。但分度圆直径 19.861 mm 与 9 × 2 ÷ cos 25° 一致，由此可知这是法向模数（如果是端面模数，应该是 9 × 2 = 18 mm）。为了不让对方去推算，在询价单上一定要写明“法向”^[1]。

滚刀询价单（示例）：转向小齿轮（磨削前的带凸角滚刀）
项目	填写示例	为什么需要
工件（取自产品图的参数表）
图号、零件名称	（本公司图号）小齿轮轴	将图纸与委托内容核对
齿形、基准	渐开线，法向方式	决定刀具的基准齿条
模数、压力角	m_n = 2、α_n = 20°（两者都是法向）	法向和端面不同，刀具就完全不同
齿数	9	用于确认根切和干涉
螺旋角、旋向	25° 左旋	决定滚刀的螺旋方向和安装角
变位系数	+0.3（法向）	漏写的话，齿形就对不上
分度圆直径	19.861 mm	用于核对参数（m_n·z / cos β）
齿顶圆直径、齿根圆直径	24.261 mm、16.861 mm（齿顶高 2.2、齿根高 1.5 mm）	齿高与标准不同。要使刀具的齿高和切入深度与之匹配
齿厚（成品）	跨测齿数 2，公法线长度 9.600 mm（理论值，公差按图纸）	成品的基准
齿厚（切齿后）	公法线长度 9.760 mm（＝成品＋ 2 × 磨削余量 0.08）	预加工滚刀按此尺寸制造
跨球距（参考）	球径 4.058 mm 时为 26.833 mm（成品的理论值）	齿厚的另一种测量方法。要一并写出球径
有效齿顶圆直径、有效齿根圆直径（TIF）	产品图上的值（没有的话，请根据与配对齿条的啮合来计算）	避免凸角的让刀凹槽侵入啮合范围
配对件	齿条（螺旋角 5° 右旋），交错角 20°，中心距 17.530 mm	用于计算啮合范围
齿宽、轴的形状	齿部长度、两侧台阶的直径及其与齿部的距离	与滚刀外径的干涉，以及滚刀切出长度
材料、硬度、热处理	例：渗碳用低合金钢，切齿时的硬度。切齿 → 渗碳淬火 → 磨齿	刀具材质牌号、热处理变形的预估量
精度、修形	成品的精度等级，齿廓和螺旋线修形（通过磨削完成）	试切的合格标准
精加工与凸角
磨削余量	单侧 0.08 mm（垂直于齿面）（示例）	决定滚刀的齿厚和凸角的大小
凸角（Protuberance）	需要（磨削后不能留下磨削台阶）。用齿形代号表示即 PGP	防止出现磨削台阶
齿顶倒角	是否需要及倒角量（需要的话为 PGSP）	热处理前是否先去掉齿顶的棱角
端面倒角	形状（平行形等）、倒角量、部位，以及在哪道工序加工（例：切齿后挤压倒角）	倒角时齿面一侧鼓起部分的预估量。滚齿是否分两次进行
机床与数量
滚齿机	机型、最大滚刀直径×长度、最大窜刀量、回转角、心轴直径（＝滚刀孔径）	能否装上，以及能否通过窜刀用尽刀齿
切削液	湿切/干切	材质牌号、涂层
数量、寿命	年产量，每次重磨的目标加工件数	头数、材质牌号、数量
进给痕	齿面凹凸的允许大小	影响滑动噪声。据此确定头数和进给
对滚刀的要求（交给厂家决定的话写“由贵方决定”）
头数、螺旋方向	1 头或 2 头，左旋（与齿轮旋向相同）	关系到效率和精度。旋向相同时安装角较小
精度等级、材质牌号、涂层	例：A 级，粉末冶金高速钢，可重新涂层	预加工多用 A 级
外径、总长、孔径、键槽	请厂家根据与机床和台阶的干涉情况来确定	与心轴、台阶的干涉

表中的齿厚和跨球距是“不留侧隙的理论值”，用与公法线长度、跨棒距的计算相同的公式算出。实际使用时要加入图纸上齿厚的公差（齿厚的减少量）。公法线长度是垂直于齿面测量的，所以把垂直于齿面的磨削余量 q 加在两侧，就得到切齿后的值。

9 齿小齿轮要注意根切像这个例子一样齿数少的齿轮，是靠变位和齿高来避免根切的。刀具的齿顶圆角和凸角一确定，齿根的形状就会改变，所以请刀具厂家提供确认齿根形状（余摆线）、根切和 TIF 的图会更放心。请在变位与根切示意图中调整齿数和变位系数，看看齿形的变化。

高级例 2：电动助力转向的蜗杆轴和蜗轮

柱式、小齿轮式电动助力转向（EPS）用钢制蜗杆和树脂蜗轮对电机的转动进行减速。采用树脂，是为了降低恶劣路面上的敲击噪声，改善转向手感^[4][5]。有的结构中，蜗杆被弹簧压向蜗轮，使侧隙始终为零^[4][3]。

首先确定“蜗杆的齿形类型”

蜗杆看起来像“螺纹”，但根据齿形在哪个截面上是直线，分为5 种，所用的刀具也各不相同。ISO/TR 10828、DIN 3975、AGMA 6022 都对这些类型作了规定，JIS B 1723（圆柱蜗杆传动的尺寸）中也有关于齿形的章节^[50][51][52]。

代号	在哪里是直线	主要加工方法
ZA	在包含轴线的截面（轴平面）上是直线	用直线刃车刀车削。也可铣削、磨削
ZN	在倾斜一个导程角的截面（接近法向的截面）上是直线	圆锥形铣刀、砂轮，倾斜安装的车刀
ZI	渐开线螺旋面（与斜齿轮形状相同）	用平面砂轮磨削，或用滚刀加工
ZK	用圆锥形刀具倾斜一个导程角加工出的形状（在轴平面上略微鼓起）	圆锥形铣刀、砂轮。形状随刀具直径而变
ZC	用凸圆弧刀具加工出的凹形齿形	圆弧形铣刀、砂轮

ZK、ZC 的“刀具形状”也是蜗杆定义的一部分因为刀具的直径和刃形决定齿形，所以在图纸和询价单上还要写明刀具（砂轮）的外径和刃形。在标准的例题中，也把砂轮的外径和刃形的半径列为参数。^[50][51]。

蜗杆轴的加工方法与刀具

加工方法	原理	刀具
旋风铣	将排列在环形刀体内侧的刀片高速旋转，并倾斜一个导程角，围绕缓慢转动的工件进行切削。有很多报告称速度快，并且可以省去磨削。多为干切^[47][46]	旋风铣刀环 + 专用刀片
蜗杆铣削	用旋转的铣刀加工螺纹槽。用于 ZA、ZN、ZK 的形状^[51][55]	蜗杆铣刀
磨削	淬火后用砂轮精加工。用于 ZK、ZI 的形状。砂轮的外径和刃形半径决定齿形^[51][50]	螺纹磨削砂轮、修整器
滚轧	用滚轧模挤压，使材料隆起成形。有机床厂家介绍，用精密滚轧机几秒钟就能加工出螺纹、花键和蜗杆^[57]	滚轧模

关于电动助力转向用的蜗杆，旋风铣机床厂家宣称“可干切模数 0.8～3、回转角至 42° 的蜗杆，无需后续工序即可达到齿轮精度”（机床厂家的说法）^[48][13]。订购旋风铣刀具时，告知手头的机床和主轴以确定刀盘本体，并提供工件图纸，刀具厂家会根据图纸计算导程角和刃形，制作专用刀片。一次加工多头蜗杆时，由于机床有限制，请事先商量^[46]。

刀具询价单（示例）：EPS 蜗杆轴（旋风铣、铣削、磨削）
项目	要写的内容	为什么需要
蜗杆图纸	外径、齿根圆直径、齿距（导程）、头数、旋向、螺纹部长度及不完整螺纹部	刀具厂家据此计算切削圆直径、导程角和刃形^[46][47]
齿形类型	ZA/ZN/ZI/ZK/ZC。ZK、ZC 的话还要写刀具直径和刃形	类型不同，刀具的刃形和倾斜方式也不同
模数、压力角的基准	轴向模数还是法向模数；压力角是哪个截面上的	JIS 的蜗杆按轴向模数确定尺寸，而滚刀一侧多用法向表示^[52][49]
齿厚	轴向齿厚，或跨线（球）距及线（球）径	成品的基准
材料、热处理	是否只对蜗杆部做高频淬火，以及在淬火前还是淬火后加工	刀具材质牌号，以及是否保留磨削工序
机床	机型、主轴、回转角范围	选定刀盘本体，以及机床能否实现该导程角
精度、表面粗糙度、冷却液	要求的精度和表面粗糙度，干切/湿切	用于判断保留还是省去磨削
配对蜗轮	齿数、材料（树脂）、中心距	用于确认啮合

加工配对蜗轮的滚刀

滚刀原则上与蜗杆形状相同：旋向相同、压力角相同、齿高相同。外径为“蜗杆齿顶圆 + 顶隙”^[49][17]
有时做不出与蜗杆同直径的滚刀：有专利写到这样的问题：EPS 的树脂蜗轮模数小，很难做出与蜗杆外径相同的滚刀；用稍大的滚刀加工，齿面接触处的间隙（鼓形量）会过大，使接触压力升高。该专利通过注塑成形蜗轮的齿来避开这个问题^[6]
也有故意把滚刀做得稍大一点的思路：有资料介绍了把滚刀做大一点、让接触区移向齿宽中部的方法；另一方面，也有研究认为重磨后外径变小，接触状态会随之改变，做大的效果有限^[49][53][54]
安装角：滚刀的安装角 β 原则上为“蜗轮的导程角 γ_c − 滚刀的导程角 γ_a”，滚刀直径变了它也会变。在 EPS 减速机中，有通过优化该角度使输出转矩波动降低 30% 的例子^[3]

滚刀报价委托书（示例）：蜗轮
项目	要写的内容	为什么需要
配对蜗杆的参数	头数、旋向、导程（轴向齿距）、压力角、齿高、齿形种类、外径	滚刀原则上与蜗杆形状相同^[49][17]
蜗轮	齿数、材料（钢、青铜、树脂）、喉径及其圆角、中心距	切齿时的中心距，以及是否连齿顶圆角一并加工
滚刀外径	与蜗杆同径；若加大，写明加大量和目标接触位置	外径决定接触状态^[17][53]
重磨	最多几次，外径最多可减小多少	重磨会使外径变小，接触状态随之改变^[53][54]
加工方式	径向进给/切向进给、安装角	安装角随滚刀直径而变^[3]
滚齿机	回转角、最大滚刀直径、长度	机床能否实现大导程角、能否装大直径滚刀^[41][55]

常见错误

没写变位系数、齿厚：这样就确定不了刀具的齿高和齿厚。刀具厂家的委托书一定会要求提供变位系数或齿厚（公法线长度、跨棒距）^[7][35][37]
把法向和端面（蜗杆为轴向）弄混：参数表里只写“模数”的情况并不少见。按 JIS，蜗杆用轴向模数，而滚刀通常用法向表示^[1][52][49]
漏写旋向和头数：蜗轮滚刀的旋向必须与蜗杆一致^[49][35]
只写成品齿厚：预加工用的刀具，是按“滚齿后”的尺寸制作的^[35][7]
没告知磨削余量和有效齿廓起始圆（TIF）：用不带凸角的刀具预加工，会留下磨削台阶，弯曲强度可能下降^[16][7]
没告知机床的限制：不知道最大刀具直径、长度、窜刀量以及与台阶的间隙，刀具就可能装不上，或碰到台阶^[35][40][41]
没告知热处理的先后顺序：热处理变形的预估量会不同，若在热处理后再加工，刀具材质也会不同^[7][42]
没确定蜗轮滚刀的直径和重磨方案：滚刀大了，间隙就大，重磨后接触状态也会改变^[17][53][54]
ZK 等蜗杆没写刀具直径：刀具直径不同，齿形也不同^[50][51]

只需 3 条“附注”，就能避免大半失误：①是哪个面的值（法向、端面、轴向），②是哪个阶段的值（滚齿后、成品），③保证到什么范围（TIF、有效齿顶圆）。只要写上这 3 条，询问时的来回沟通就会大大减少。

常见问题

模数相同，就能与任何齿轮啮合吗？: 模数和压力角都必须相同，斜齿轮还要螺旋角相同（旋向相反）。在此基础上，中心距还必须合适。
刀具的形状（滚刀齿形）需要自己决定吗？: 不需要。只要把齿轮参数、精加工方法和机床正确告知刀具厂家，刀具的形状由厂家计算。重要的是不遗漏信息、不弄错信息，以及核对刀具厂家给出的刀具图（承认图）。
带凸角的齿轮，只能用特定厂家的磨齿机精加工吗？: 不需要。凸角的大小由刀具一侧根据精加工方式、磨削余量和配对齿轮来决定。磨齿机和砂轮确定后，请把这些信息交给刀具厂家（磨齿机厂家、Maag 法与 Reishauer 法）。